你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?

POST TIME: 2014-06-12 18:21:11

你真会数数吗:1+2+3…= -1/12 ?

数学家们又来挑战你的智商了!问:1+2+3+...=?通过对加法“和”的巧妙定义,居然可以算出1+2+3+...=-1/12!?这并非数学家在故弄玄虚,而是借用了解析延拓的思想和极限的概念来计算这一无穷级数的结果。在这里我们还将看到怎样才能算是一个好的数学科普视频。

这个月的早些时候,“数字狂”(Numberphile)上发布了一个视频,声称全部正整数的和是-1/12。

我一直是“数字狂”的忠实粉丝,它对数学的诠释让数学变得妙趣横生而且通俗易懂,但是这个视频让我失望了。把数字-1/12和级数1+2+3+4(译注:级数,指有限个或无限个数字相加的和)用一种有意义的方式联系起来是完全可以的,但是我认为把它叫做该级数的和却有误导性。再者,那段视频中的推导涉及到了一个我作为一名数学教育工作者经常遇到的情况,即数学家们往往不给出明确原因就随意使用定理或概念,这让学生们摸不清在某个条件下,什么是成立的什么是不成立的。在一个关于这段视频的评论中,物理学家斯盖斯库尔博士(Dr.Skyskull)说:“很多人对数学有一种成见,认为数学是非直觉的、古怪的魔法,只有那些超高智商的人类才可能通晓。而(数字狂)不加解释地放出这么一个疯狂的结论,只会让人们更加坚信这一看法。在我看来,这是对数学的伤害。”

加法是一个二元的运算。你输入两个数字,得到一个数字。但是你可以把它拓展到更多数字。比如你想把三个数字相加,那么你可以先把其中任意两个相加,再把第三个与前两者的和相加。我们可以对任何有限个数字进行类似操作(交换律告诉我们不论相加的顺序如何,得到的和是一样的)。但是当我们试图把无穷个数字相加时,我们就必须明确定义什么是加法。处理无穷项相加最常见的方法是运用“极限”的概念。

简单地说,假设有无穷多个数,随着加进去的数越来越多,它们的和越来越接近数L,那么我们就说这无穷多个数的和是L。如果L是有界的,则称该级数收敛。收敛级数的一个例子是1/2+1/4+1/8+1/16…,这是一个收敛到1的级数。原因很简单:从0开始,加上第一个数1/2之后,我们距离1有一半;加入第二个数之后,我们距离1有所剩距离的一半,以此类推,每加入一个数就向着1前进所剩距离的一半。

(1/2+1/4+1/8...=1的直观“证明”。图片来自Hyacinth,维基百科常识。)

芝诺悖论(Zeno’sparadox )说,我们不可能真正达到1,但是从极限的角度看,我们可以无限地接近1。这就是数学家们讨论无穷级数时所用到的“和”的定义,它跟我们直觉上所认为的“和”、“等于”的概念是基本一致的。


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